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인지과학의 논리 - 수리논리학과 인공지능




인지과학의 논리 - 수리논리학과 인공지능



김상문 (연세대 수학과)

인지 과학 (마음, 언어, 기계) : 한광희, 임중우, 김민식, 이일병, 변혜란, 김진우, 김상문, 이승종, 이익환, 이민행, 임춘성, 박창균, 나동렬 공저, 학지사, 2000, Page 111~130



1. 마음의 기계화

2. 인지과학과 수리논리학

1) 수리논리학의 발전과 인지과학

2) 튜링기계 (Turing Machine) 와 인지과학

3. 괴델 (Gödel) 이론과 인지과학

1) 괴델과 인공지능 (AI)

2) 괴델의 불완전성 정리와 기계와 마음의 한계
4. 논리학과 인공지능 (AI)

1) 논리학과 지식표상

2) 인공지능의 논리학

5. 인지과학의 논리

6. 결론








1. 마음의 기계화
인지과학의 목표가 마음의 본질과 그 기능을 해명하고 기계적 구현을 통한 검증에 있다고 할 때, '마음의 기계화 (mechanization of mind)' 는 인지과학의 가장 중요한 주제의 하나이며 동시에 인지과학이 당면한 연구과제이기도 하다. 마음의 기계화에 관한 연구는 비교적 오랜 역사를 가지고 있다. 이미 유클리드 (Euclide) 의 기하학의 공리학 (Axiomatization), 아리스토텔레스 (Aristoteles) 의 논리의 공리화 시도에서 사고에 대한 기계적 이해로서의 기원을 찾아볼 수 있으며, 라이프니츠 (G. W. Leibniz, 1646~1716) 의 기호를 도구로 하는 계산추론 (calculable reasoning), 그리고 힐버트 (D. Hibert) 의 모든 수학적 증명의 형식화 (formalization) 계획을 거쳐 오늘날의 인지과학에 이르기까지 연구가 진행되고 있다. 특히 형식논리체계의 물리적 구현인 컴퓨터의 출현은 마음의 일정한 부분적 기능이 기계적으로 구현 가능하다는 것을 보여주었다. 그래서 인공지능 (AI : Artificial Intelligence) 분야에서는 인간의 '자연적 기능' 에 비견할 만한 '인공지능 (AI)' 의 구현을 목표로 다각적으로 연구중에 있다.

과연 인간은 생각하는 기계인가? 마음의 기계화는 가능한가? 이런 질문과 관련하여, 인간을 '의미 기관 (semantic engine)', 즉 자동형식체계 (automatic formal systems) 로 볼 수 있다는 견해는 인지과학의 기본적 전제의 하나이다 (J. systems) 로 볼 수 있다는 견해는 인지과학의 기본적 전제의 하나이다 (J. Haugeland, 1981). 19 세기 근대 수리논리학 (mathematical logic) 의 성립에 중요한 공헌자인 부울 (G. Boole, 1815~1864) 은 대수적 형식체계 (algebraic formal systems) 를 통하여 인간의 순수한 생각을 표현해 낼 수 있다고 보았으며 이후에 수리논리학의 성립과정은 바로 마음의 완전한 형식적 표현을 지향하는 발전을 보여주었다. 특히 수리논리학 내에서도 회귀이론 (recursion theory), 즉 계산가능성이론 (computability theory), 비단조논리 (nonmonotonic logic) 등의 발전은 오늘날 컴퓨터 과학의 탄생과 AI 의 발전에 직접적으로 연결되어 있으며, 현대 응용수학의 정보이론 (information theory), 통신이론 (communication theory) 은 인지과학의 정보처리이론 (information processing theory) 성립에 결정적인 영향을 주었다고 평가된다. 이러한 역사적 흐름 속에서 수리논리학적 이론과 배경, 논리학과 인공지능과의 관계를 소개하고 인지과학의 논리에 관하여 고찰해 보고자 한다.



2. 인지과학과 수리논리학
1) 수리논리학의 발전과 인지과학
인간의 사고를 기호로 충분히 표현하여 다룰 수 있다는 라이프니츠 (Leibniz) 의 주장은 기호논리학 (symbolic logic), 곧 수리논리학의 시초로 평가된다. 이후 부울과 모간은 아리스토텔레서 이래의 고전논리학에서 다루는 내용과 범위를 모두 대수적 기호논리로 처리할 수 있음을 증명하여 라이프니츠의 구상을 더욱 구체화시켜 보여주었다. 프레게 (F. L. G. Frege, 1848~1925) 는 수학의 기반이 될 수 있는 논리체게의 공리적 형식화 (axiomatic formalization) 를 통하여 건설하고자 하였고, 동시대의 페아노 (G. Peano, 1858~1932) 는 실제로 자연수의 산술에 대한 공리체계 (Peano Arithmetic) 를 구성하여 수학 내의 여러 가지 정리들을 논리적으로 증명하여 보였다.

한편 칸토어 (G. Cantor, 1845~1918) 는 무한의 문제를 수학적으로 해결하고자 현대수학의 기원이 되는 집합론을 구성하였는데, 집합론은 수학의 기초에 대한 근본적이고 구조적인 변화를 가져왔다. 그런데 브랄리-포티 (Burali-Forti) 의 패러독스 (1897), 칸토어의 패러독스 (1899), 러셀의 패러독스 (1903) 등 일련의 패러독스들이 발견되면서 집합론에 근거한 수학의 기반이 위협받는 상황이 일어나게 되었다. 이러한 상황에서 20 세기에 들어와 수학 내의 개별적 내용을 다루기보다는 수학 자체의 구조적 건실성 (soundness) 을 확립하기 위한 수학기초론 (Foundations of Mathematics) 이 성립하게 되었으며, 수리논리학을 중심으로 수학의 본질에 관한 연구가 체계적으로 수행되었다.

수학의 본질에 관한 해석에 따라 크게 대별되는 세 가지의 입장이 있었는데, 프레게 (Frege), 러셀 (Russell), 화이트헤드 (Whitehead) 의 논리주의 (Logicism), 브로워 (Brouwer, 1881~1966) 의 직관주의 (Intuitionism), 힐버트 (Hilbert, 1862~1943) 의 형식주의 (Formalism) 로 분류해 볼 수 있다. 프레게는 『개념논저 (Begriffsschrift)』(1879) 를 통하여 순수한 사고의 표현을 위한 형식언어로서의 형식논리학 체계를 구상하였다. 그는 기본적인 논리분석을 통해서 수학 내의 정리와 증명들의 본질적 구조를 밝혀낼 수 있다고 보고 수학을 형식논리체계로 환원시키는 작업의 기초를 제공하였다. 이러한 시도가 타당하다고 본 러셀은 『수학의 원칙 (Principles of Mathematics)』(1903) 에서 프레게의 계획과 페아노의 결과를 결하비켜 산술체계뿐 아니라 수학의 모든 분야들도 논리에 환원될 수 있다고 생가하였다. 그리고 화이트 행드와의 공저 『수학원론 (Principia Mathematical)』(1910~1913) 에서는 명제논리체계 (Propositional Logic System) 내에서 세분화 유형론 (ramified type theory) 을 사용하여 논리로부터 수학이 연역가능함으로 보이고자 하였다.

브로워는 크로네커의 구성주의의 영향과 수학의 본질이 직관에 있다는 생각에 근거하여 수학을 논리에 환원시키는 것을 반대하였고 또한 공리화에 대해서도 반대하였다 (수학의 기초에 관하여 Over de grondslagen der wiskunde, 1907). 그는 논리와 수학의 무관성을 주장하며 무한집합에 배중률 (law of the excluded middle) 을 적용하는 것이 유한집합으로부터의 부당한 확장이라고 보고 이를 근거로 수학적 추론에서 배중률의 무제한적 적용에 반대하기도 하였다 (논리법칙의 비신뢰성 De onbetrouwbaarheit der logische principes, 1908). 논리주의가 논리적 환원을 통하여 패러독스의 해결을 시도하였다면 직관주의는 내용의 재구성을 통하여 패러독스의 문제를 해소시키고자 하였다.

힐버트는 먼저 기하학의 기초를 형식화 (formalization) 하는데 성공한 후에 수학 전체에 대한 정리들 (theorems) 과 공리들 (axioms) 의 형식화를 도모하여 그 형식체계 자체의 무모순성 (consistency) 과 완전성 (completeness) 을 증명함으로써 수학의 기초를 확립하고자 하였다. 형식체계의 무모순성과 완전성을 증명하기 위하여 유한적 (finitistic) 형식과 절차에 의한 유한적 형식화 방법을 통하여 증명한 이론이 증명론 (Beweistheorie, proof theory) 또는 메타수학 (Metamathematics) 이다. 1901 년 괴팅겐 (Göttingen) 수학회에서 행한 강연 '완전성과 결정가능성에 관하여' 에서 집합론을 포함하여 수학의 명제들은 형식체계 내에서 공리에 의해 형식적으로 결정될 수 있어야 하며, 이 형식체계의 무모순성, 결정가능성 (decidability), 완전성을 입증해야 한다고 주장하였는데, 이것이 이른 바 '힐버트 프로그램' 이라는 것이었다. 즉, 이것은 1 계술어논리 (First-order predicate logic) 라는 형식체계의 완전성, 결정가능성, 무모순성 증명의 문제를 의미한다.

20 세기 초반에 수리논리학이 논리주의와 직관주의, 형식주의와 직관주의의 치열한 논쟁을 거치면서 전개되었다. 1930 년 괴델 (K. Gödel, 1906~1978) 은 Hilbert 가 제시한 미해결 문제 중 페아노 산술체계를 포함하는 1 계논리의 완전성 문제를 증명하여 비엔나 대학의 박사학위 논문 '논리계산의 완전성에 관하여 (Über die Vollständigkeit des Logikkalküls)' 로 발표하였다. 그는 이어서 1931 년 페아노 산술체계의 확장된 형식체계가 오메가 -무모순 (ω-consistent) 하면 그 형식체계 내에서 증명불가능 (unprovable) 하면서 반증불가능한 (not disprovable) 문장, 즉 결정불가능한 문장 (formally undecidable sentence) 이 존재한다는 것을 증명하였다 ('수학원론과 관련체계들의 형식적 결정불가능성 명제에 관하여 I Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter System I,' 1931). 이것이 괴델의 제 1 불완전성 정리 (1st Incompleteness Theorem) 이다. 완전성이 증명된 1 계논리라는 형식체계를 통하여 확장된 형식체계의 불완전성이 증명된 것이다. 따라서 이 불완전성 정리에 의해 힐버트의 원대한 계획이 불가능하다는 것이 증명되엇다. 형식논리체계의 완전성이 보장될 수 없다는, 즉 논리학에서 가장 발달된 형식논리학 체계의 한계를 분명히 보여준 충격적인 사건이었다.

이후 형식논리의 한계를 보여주는 정리로 유효적 유한절차 (effective finite procedure) 가 존재할 수 없음을 증명해 보인 처치 (A. Church) 의 정리 (1936) 가 있으며, 이러한 문제는 수리논리학에서 결정불가능성 (undecidability) 의 주제로 다루어 지고 있다. 이러한 결정불가능성의 문제와 한계이론들은 바로 인간과 기계의 논리적 한계를 동시에 보여주는 것으로 인지의 한계 또는 인지 영역의 결정불가능성 문제와 관련된 인지과학의 중요한 주제이자 과제이다.

괴델 (Gödel) 의 결론이 모든 문제의 해답을 제시한 것은 아니다. 가령 증명불가능한 명제가 증명가능한 명제와 어느 정도 구별될 수 있는가의 문제는 해결된 것이 아니었다. 기계적으로 확인될 수 있는 증명에 의해 수학의 대부분이 정확하게 될 수 있으리라는 기대가 여전히 남아 있으며 그러한 문제를 집중적으로 다룬 학자들이 튜링 (A. Turing), 처치 (A. Church), 클린 (C. Kleene), 포스트 (E. Post) 등이었다. 이들에 의해 계산의 형식 모델들이 다양하게 구성되었으며, 특히 회귀함수 (recursive function) 에 관한 중요한 결과들이 나왔다. 자신의 계산결과를 수용하는 회귀함수의 속성은 다음과 같이 표현될 수 있다.



계산가능성이론 (Computability Theory) 은 본래 괴델의 원회귀함수 (primitive recursive function) 로부터 발전된 Herbrand-Gödel-Kleene 체계의 일반회귀함수 (general recursive function) 에서 발전된 것이다. 처치의 정리 (Church Thesis, 1936) 에 의해 유효적 (effective) 이라는 개념이 회귀적 (recursive) 이라는 개념과 결합되어 유효적 계산가능성이 곧 회귀적이라고 받아들여지게 되었다. 그리고 튜링 (A. Turing, 1912~1954) 은 계산가능성의 추상적 형식체계인 튜링기계 (Turing Machine) 를 고안하여 튜링기계에 의해 계산가능한 것은 곧 유효적 계산가능임을 주장하였다 (Turing Thesis, 1936). 그래서 처치의 정리와 튜링의 정리 (Turing Thesis) 는 동치로 인정되고, 일반회귀함수와 튜링기계에 의한 계산가능성에 의해 계산이론이 구성된다.



2) 튜링기계 (Turing Machine) 와 인지과학
2 천여 년 동안 아리스토텔레스의 삼단논법적 추론에 따른 고전논리는 추상화된 기호의 조작에 의한 형식논리가 프레게에 의해 19 세기 말에 시작되어 20 세기 초에 러셀과 화이트헤드에 의해 산술의 기본법칙을 명제논리에 환원시키는 작업으로 연결되었다. 이러한 작업들은 후에 수학적 훈련을 통해 인지과학의 기초를 세우는데 매우 중요한 공헌을 한 위너 (N, Wiener) 나 노이만 (J. von Neumann, 1903~1957) 등의 수학자들에게 지대한 영향을 주었다.

튜링 (A. Turing) 은 인지과학에 가장 큰 중요성을 가지는 수리논리적 형식체계의 연구를 발표했다. 그는 1936 년에 튜링기계 (Turing Machine) 로 불리는 간단한 기계의 개념을 제시하였다 ('On computable numbers with an application to the Entscheidungs-problems). 그것은 이론적으로 생각할 수 있는 계산은 어떤 것도 수행할 수 있는 기계를 의미했다. 그 기계에 필요한 것은 무한한 길이의 테이프 (tape) 와 그 테이프에 기록된 기호를 판독하는 판독기 (scanner) 뿐이었다. 테이프 자체는 여러 칸으로 나누어지고 각각의 칸은 공란이나 일정한 종류의 기호로 채워지게 된다. 기계는 테이프와 더불어 오른쪽으로 이동, 왼쪽으로 이동, 지우기, 프린트의 네 가지 동작 (move) 이 가능하다. 이러한 간단한 연산만으로 기계는 2 항 (binary : 0, 1) 코드 내에서 표현될 수 있는 어떠한 계획이나 프로그램도 수행할 수 있다는 것이다. 말하자면 과제를 수행하기 위해 필요한 단계들을 명백하게 표현할 수 있다면, 단순히 지시 (instruction) 를 수행하고 테이프를 판독하는 튜링기계에 의해 모두 프로그램화되어 수행될 수 있다는 것이다. 기본적인 튜링기계 (Turing Machine) M 을 정의하면 다음과 같다.

M = (Q, Σ, Γ, δ, q0, B, F)

Q : 상태 (state) 들의 유한집합

Γ : 허용되는 테이프 부호들의 유한집합

B : blank 이며 Γ 의 부분집합

Σ : B 를 포함하지 않는 Γ 의 부분집합이며, 입력부호들의 집합

δ : δQ × Γ → Q × Γ × {L, R}

q0 : 시작상태 (initial state) 로 Q 의 원소

F : 최종상태 (final state) 로 Q 의 부분집합

0 과 1 로 구성될 수 있는 2 항의 코드가 무한정한 프로그램을 고안하고 수행할 수 있도록 한다는 튜링의 연구결과는 계산장치에 관심을 가진 연구자들에게 매우 중요한 암시를 주었다. 튜링은 자신의 계산장치 설계에 이어서 1950 넌에는 튜링테스트를 실시했다 ('Computing Machinery and Intelligence', 1950). 텔레타이프를 통한 대화에서 인간의 대답과 기계의 대답을 구별할 수 없는 프로그램을 제시한 것이다. 이 테스트에 따르면 인간의 대답과 기계의 대답을 관찰자가 구별할 수 없다면 컴퓨터가 실제로 생각할 수 있음이 증명된다는 것이었다.

이러한 구상이 의미하는 것은 곧 사고의 과정이나 행위가 정확히 표상될 수 있다면 동일한 방식으로 작동하는 계산기계를 설계할 수 있는 가능성이 존재한다는 것이다. 그래서 튜링기계에 의해 인간이 어떻게 사고의 기능을 행하는가에 관한 개연적 이론들을 과학적으로 검증할 수 있게 되었고, 나아가 인간처럼 생각할 수 있는 기계를 구성하는 문제에 보다 구체적으로 접근하게 되었다.

튜링은 인간이 수행할 수 있는 계산을 알고리즘 (algorithm) 을 갖춘 튜링기계에 의해 동일하게 실행시킬 수 있다고 보았다. 이것은 상징조작 (symbolic manipulation) 에 의한 계산가능성을 보여준 모델이 되었고 오늘날 계산주의 (computationalism) 의 원형으로 평가되고 있다. 1948 년 컴퓨터의 창시자로 여겨지는 폰 노이만 (J. von Neumann) 은 튜링기계의 계산가능성과 생명체의 자기증식 능력을 가진 기계인 자기증식자동자 (self-reproduction automation) 이론을 발표하였다. 튜링의 생각에 근거하여 폰 노이만은 기계를 재생산해 낼 수 있는 튜링기계를 지시하는 프로그램을 고안하고자 하여 내장 프로그램 (stored program) 을 구상하였다. 이는 컴퓨터가 내부 기억에 자체 내장된 프로그램을 통해서 통제될 수 있음을 의미하는 것이었다. 그러므로 기계가 매번 새로운 과제를 위해 다시 프로그램화 될 필요가 없게 되었다. 폰 노이만에 의해서 최초로 컴퓨터가 자체의 프로그램을 준비하고 수행하는 것이 가능하다고 생각할 수 있게 된 것이다.

정보처리적 관점에서 1948 년 수학자 위너 (N. Weiner, 1894~1964) 는 동물과 기계의 공통된 제어 (control) 와 통신 (communication) 의 영역에 근거한 인공두뇌학 (cybernetics) 이론을 제시하였다 ('Cybernetics or control and communication in the animal and the machine'). 수학자 섀논 (C. Shannon) 은 '통신의 수학적 이론 (A Mathematical Theory of Communication, 1948)' 이란 논문을 통해 정보의 단위를 비트 (binary digit) 로 보고 수량적 측정이 가능하다고 주장하여 정보이론 (information theory) 을 성립시켰다.

한편 1943 년에는 신경과학자 맥쿨로치와 수학자 피츠가 뉴런 (neuron) 으로 구성된 신경망 (neural network) 이 형식논리학의 기본적인 계산을 수행할 수 있다는 가능성을 제시하여 오늘날 신경망이론의 효시가 되었다 ('A Logical Calculus of the Ideas Immanent in Nervous Activity').

뉴웰 (A. Newell) 과 사이먼 (H.A. Simon) 의 '논리이론가 (Logic Theorist)' 는 발견법추론 (heuristic reasoning) 을 사용한 최초의 AI 프로그램이었으며, 이를 보다 발전시킨 것이 '일반문제해결자 (General Problem Solver, 1958)' 였다. 이 과정을 통해서 인간과 컴퓨터가 상징을 조작하는 물리적 형식체계라는 이론이 성립되게 되었다. 사무엘 (A. Samuel) 의 체스경기학습 프로그램 (Learning Checkers Playing Program) 은 최초의 기계학습 프로그램이었다. 맥카시 (McCarthy) 는 AI 에서 지식표상을 위해서는 1 계 논리 (First Order Logic) 의 사용을 제안하였으며, 퀄리안 (Quillian) 은 의미론적 망 (semantic network) 의 개념을 발전시켰다. 갈렌더 (H. Gallenter) 는 유클리드 기하에서의 증명을 만들어 내기 위한 프로그램을 개발하고자 하였다. 그러나 프로그램의 문제해결 능력이 특정한 분야를 벗어날 수 없었고 전반적인 문제에 관한한 인간의 자연지능에 비견할 만한 인공지능의 개발은 요원한 문제였다.

이후 추론의 일반적 전략보다는 지식을 구체적으로 처리하는 형식체계인 표상의 문제가 AI 의 주요 연구과제가 되었으며, DENDRIL 은 전문가 시스템 (Expert System) 의 시초로서 지식표상의 일정 원칙을 수립해 주었다. 병원-의학지식과 관련된 MYCIN 은 최초의 통합된 전문가 시스템으로 이 시스템에서 사용한 규칙근거 (rule-based) 구조는 이후 시스템의 기본적 모형이 되었다. 전문가 시스템은 지식 표상에 있어서 매우 중요한 성과로 평가되고 있다 (H. Gardner, 1985 참조).



3. 괴델 (Gödel) 이론과 인지과학
1) 괴델과 인공지능 (AI)
괴델은 마음과 기계를 비교하여 기계는 할 수 없지만 인간이 해결할 수 있는 어떤 과제가 있음을 보여주었다. AI 의 선구자인 튜링 (A. Turing) 은 괴델의 논문 '수학원론과 관련체계들의 형식적 결정불가능 명제에 관하여 (Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter System I, 1931)' 를 공부하다가 자극을 받아 기계가 해결할 수 있는 문제가 무엇인가를 연구하였다고 한다.

괴델의 증명은 본래 수리논리에서 이루어진 것이지만 컴퓨터과학과 인공지능의 이론에 중요한 의미를 가지고 있다. 괴델의 증명과 같은 문제로는 튜링기계의 멈춤문제 (Halting Problem) 이 있는데, 이 문제는 무한의 루프를 돌지 않으면서 임의의 프로그램을 결정할 수 있는 프로그램을 만드는 것이 가능하지 않다는 것을 보여준다.

증명가능성 (provability) 문제는 '인간은 기계가 기능하는 것과 같이 생각하는가?' 의 문제와 직접 관련이 있다. 많은 사람들은 '원칙적으로 인간의 뇌는 디지털 컴퓨터처럼 작동한다' 는 튜링의 주장에 동의하고 있기도 하다. 그러나 괴델은 인간의 두뇌에서 나오는 생각은 자연과학으로는 완전한 설명이 불가능하다는 것을 보여주었다. 튜링은 괴델의 증명가능성 문제를 컴퓨터에 대한 계산가능성 (Computability) 의 문제로 바꾸어 놓았다. 그러나 루틴을 따라 인간이 할 수 있는 것은 모두 튜링기계에 의해 수행될 수 있다는 튜링의 생각은 증명불가능한 괴델의 이론을 해결하지 못하였다.

괴델은 이미 그 당시부터 오늘날 모든 프로그래머들의 필수작업인 기계번역 작업을 수행했다. 이 코딩작업은 괴델화 (Gödelization) 라 불리고 있다. 그리고 괴델의 회귀함수에 대한 명확한 형식화 작업은 처치 (A. Church) 의 람다계산 (lambda-calculus) 과 더불어 회귀프로그래밍의 기초가 되어 오늘날 AI 의 주요 프로그램언어의 하나인 LISP (J. McCarthy, 1958) 의 개발을 가져왔다. 사실 회귀함수는 괴델이 연구를 시작한 이후 1940~1950 년대에 수학에서 주요한 주제로 받아들여 연구하게 되었으며 클레네 (S. C. Kleene), 로제 (B. Rosser) 에 의해 계승되고 맥카시 (McCarthy) 에 의해 발전된 것이다. 수학분야에서 온 이러한 젊은 컴퓨터 과학자들이 회귀함수를 보편적으로 취급하게 된 것은 분명히 괴델의 영향에 의한 것이다. AI 의 회귀프로그래밍은 괴델의 연구에서 그 동기가 유발되었고, 당시의 수학과 논리에 의해 형성된 문화적 정황에서 이루어진 것이다.

괴델은 술어논리를 프로그래밍 언어로 사용할 것과 컴퓨터과학에서 논리적 방법을 적용해야 한다고 주장했었다. 그의 이러한 구상은 역사적으로 볼 때, 논리이론가 (PLANNER) 경우에는 계산복잡성에 대한 오해로 일반정리증명으로서의 실패 과정을 거치기도 하였으나 결국 프롤로그 (PROLOG) 의 개발 (1973) 로 실현된 셈이다. 1960 년대 컴퓨터 과학자들의 연구에 의해 논리가 프로그래밍 언어로 사용될 수 있다는 괴델의 예견은 옳은 것으로 판명된 것이다.

괴델이 남긴 영향 중에서, 관계계산 (relational calculus) 으로부터 지식표상 (knowledge representation) 으로 논리적 방법의 전향을 가져온 것도 간과될 수 없다. 물론 괴델의 직접적인 의도는 아니었겠으나 괴델 이후 순수논리 (pure logic) 의 한계적 의미를 느낀 많은 후학들은 실제 적용 가능한 응용논리 (applied logic) 에 관심을 가지게 되었고, 이후 연구된 응용논리들이 AI 에서 광범위하게 사용되고 있다 (W. Schimanovich, 1990).



2) 괴델의 불완전성 정리와 기계와 마음의 한계
17 세기 뉴턴 (Newton) 과 라이프니츠 (Leibniz) 에 의해 미분과 적분이 발견된 후 수학에 대한 관심이 증대되었고, 수학은 19 세기 말에 이르러서는 학문의 여러 분야에 필수적인 요소로 받아들여지게 되었다. 따라서 수학 전체의 구조적 기초를 검증하기 위해서 가능하면 수학을 형식화하여 다루고자 하는 시도는 불가피한 일이었고, 이를 위하여 주어진 자명한 것으로 받아들이는 공리 (axioms) 와 논리적 추론 (inference) 과 도출 (deduction) 의 규칙을 정의하여 사용하였다. 특히 유한한 논리적 단계 내에서 공리들로부터 유도 (derivation) 될 수 있다면 그 명제는 증명된 참으로 간주할 수 있다는 것이 힐버트의 생각이었다. 만일 그의 생각이 옳았다면 모든 수학의 명제들은 완전히 기계적인 방식 (mechanical way) 으로 옳음과 그름을 결정할 수 있게 된다.

그러한 형식체계를 추구하면서 힐버트는 그 체계가 갖추어야 할 세 가지 필수적 조건을 형식체계의 무모순성 (consistency) 과 완전성 (incompleteness) 및 결정가능성 (decidability) 이라고 보았다. 그러나 이러한 기대는 괴델의 불완전성 정리에 의해 무너지게 되었다. 이 정리를 통하여 괴델은 그 어떠한 무모순의 형식체계라도 불완전할 수밖에 없다는 것을 보였다. 반드시 그 체계 내에는 증명불가능한 명제가 존재한다는 것을 증명하였기 때문이다.

괴델의 증명을 쉽게 풀어서 소개하자면 다음과 같다. 우선 임의의 논리식을 이루는 연결사, 양화사, 변항, 술어를 모두 괴델화 (Gödelization) 하자. 그러면 그 결과로 특정한 괴델수가 생성된다. 이렇게 해서 논리식은 괴델수의 연속으로 표현 가능하다.

이 때 괴델수가 9876543210 인 문장이 다음과 같다고 가정하자.

'괴델수가 9876543210 인 논리식은 증명할 수 없다'

만일 위의 문장이 거짓이라 한다면 9876543210 인 문장은 증명될 수 있을 것이며 결국 논리식 9876543210 은 증명될 수 없다는 모순에 도달한다. 그러므로 위의 문장은 거짓이라고 할 수 없으며, 이는 문장 9876543210 이 증명불가능하다는 것을 보여준다. 말하자면 자기지시적 (self-referential) 문장을 통해 괴델은 자기자신의 참, 거짓의 여부를 결정할 수 있는 형식체계는 존재할 수 없음을 증명한 것이다.

괴델의 제 1 불완전성 정리를 Gödel Machine GM 을 통하여 증명해 볼 수도 있다. GM 은 P, N, R, * 의 기호로 구성되어 표현을 프린트한다고 하자. 여기에서 P : print, N : not, R : repeat 를 각각 의미한다. GM 이 프린트할 수 있다면 표현은 프린트 가능하다.

문장은 다음 네 가지 형태 중 하나의 표현이다.

① P*x (iff x : printable)

② NP*x (iff x : not printable)

③ PR*x (iff xx : printable)

④ NPR*x (iff xx : not printable)

GM 은 정확함, 즉 GM 이 프린트하는 모든 문장이 참이라고 가정하자. 그러면 참인 문장 NPR* NPR* 은 NPR* 의 반복 (R) 이 프린트 가능 (P) 하지 않다 (N) 는 것을 말한다. 그래서 이 문장이 프린트 가능하지 않다는 것과 이 문장이 참이라는 것은 동치이다. 만일 이 문장이 거짓이면 이 문장은 프린트 가능하다. 그런데 곧 이것은 GM 이 거짓인 문장을 프린트할 수 있음을  의미하여 가정에 모순이다. 이 증명의 요지는 어떠한 정확한 기계도 그 기계가 프린트할 수 없는 문장을 지시하는 문장을 프린트할 수 없다는 것이다.

이 증명이 의미하는 것은 진리의 세계가 증명의 세계보다 크다는 것이며, 형식적 증명을 통해 진리의 세계에 도달할 수 없다는 것이다. 다시 말해 증명할 수 없는 진리가 존재한다는 것을 입증한 것이다. 괴델의 불완전성 정리를 일반화하여 표현하면 다음과 같다.

제 1 불완전성 정리 (Gödel's 1st Incompleteness Theorem)
형식체계 S 가 무모순이면 S 내에서 결정불가능한 문장 G 가 존재한다.
S : consistent → ∃G (S  G ∧ S  ~ G)

제 2 불완전성 정리 (Gödel's 2nd Incompleteness Theorem)
형식체계 S 가 무모순이면 S 는 자신의 무모순성을 증명할 수 없다.
Con (S) → S  Con (S)

수학기초론이 컴퓨터 기술로 발전하는 과정에서 언어와 마음, 기계와 사고, 즉 마음의 기계적 속성에 대한 문제들이 심각하게 제기되었다. 왜냐하면 컴퓨터란 사실상 형식논리체계의 물리적 구현이기 때문이다. 그러므로 괴델의 증명은 컴퓨터를 가지고 인간의 정신을 모방하고자 하는 인공지능 연구에 대해 분명한 한계를 제시하였다. 기계들이 의식을 가질 수 있는가? 기계들이 사고할 수 있는가? 기계가 어느 범위까지 그림이나 영상들, 음악을 분석할 수 있는가? 모든 수학적 정리들을 증명할 수 있는가? 이러한 문제들에 대해서 괴델의 증명에서 하나의 대답을 발견할 수 있게 되었다. 수학적으로 형식화된 철학적 문제들을 해석하는 데 괴델의 증명에 의존할 수 있게 되었기 때문이다. 결국 괴델의 증명은 추상적 문제들에 대해서도 보다 정확한 이해의 도구로 평가된다. 동시에 인간은 우주의 궁극적인 것을 향한 기로에서 괴델의 증명과 더불어 이해의 장벽을 극복할 방법을 갖게된 것이다. 이것이 괴델이론이 갖는 신비한 매력이다.

바로 이러한 점에 착안하여 호프스태터 (D. R. Hofstadter) 는 괴델 사후 1 년 뒤인 1979 년 퓨리처상을 수상하게 되었던 화제의 책 『괴델. 에셔, 바흐 (Gödel, Escher, Bach : An Eternal Golden Braid)』를 발표하였다. 이 책은 괴델의 수학적 이론이 음악이나 그림과 같은 예술과 함께 지식과 창조적 활동의 한 일반적 이론으로 성립될 수 있는지를 잘 보여주고 있다. 부제가 말해 주듯이 작가는 인간의 지적 생산물을 하나의 영원한 끈으로 볼 수 있다고  해석한다. 괴델의 불완전성 정리는 자기지시적 (self-referential) 문장이 이성적 처리의 과정에 패러독스를 일으킨다는 것을 증명하여 인간 이성의 한계를 보여준 것으로 평가된다. 호프스태터는 자기지시적 구조에서 다시 출발점인 원인으로 무한히 소급되는 현상이 비롯된다고 해석하고, 이러한 무한소급 (infinite regress) 현상을 에셔의 '그림 그리는 손' 을 비롯한 여러 그림들과 바흐의 '캐논 (Canon)' 등에서 동일하게 발견한다. 그리고 이러한 현상을 '이상한 루프 (Strange Loop)' 또는 '얽힌 계층 (Tangled Hierarchy)' 이라고 설명하였다. 그에 따르면 이상한 루프, 즉 패러독스는 공통적으로 서로 상이한 계층을 구분하지 않았기 때문에 발생하며, 소프트웨어와 하드웨어로 구성된 컴퓨터의 경우에도 발생가능하기 때문에 결국 컴퓨터도 의식을 가진 것으로 해석해야 한다는 것이다.

현재 괴델의 불완전성 정리와 관련된 인지과학적 접근의 입장은 첫째, 인간과 기계의 지능에 대한 공동의 근본적인 한계를 증명하는 이론으로 보는 견해와 둘째, 기계에 대한 인간의 우위를 증명하는 이론으로 보는 견해 (E. Nagel & J. R. Newman, 1958 : J. R. Lucas, 1961 : R. Penrose, 1989) 그리고 셋째, 인간과 기계의 지능에 극히 부분적으로 적용되는 이론으로 보는 견해 (M. A. Arbib, 1987) 등으로 구분해 볼 수 있다 (M. Fischler & O. Firschein, 1987).

괴델의 불완전성 정리는 디지털 컴퓨터라는 특수한 형태와 무모순적인 기계에만 적용될 수 있는 것이다. 물론 오늘날 컴퓨터를 언급할 때는 아날로그 컴퓨터뿐 아니라 홀로그래픽 (holographic) 메모리까지 포함해야 한다. 그래서 컴퓨터는 계산을 수행하는 동안 처리 단위와 기억을 확장시키는 능력과 감각기를 지닌 하나의 사이버네틱 시스템으로 간주되기도 한다. 그러므로 발전하고 있는 모든 다양한 형태의 컴퓨터에 대하여 괴델의 불완전성 정리가 단순하게 직접 적용될 수 있는 것은 아니다.



4. 논리학과 인공지능 (AI)
1) 논리학과 지식표상
AI 에서 지식표상 (knowledge representation) 이란 컴퓨터 프로그램에 의해 지식을 표현하는 형식체계를 부호화 (encoding) 하는 방법을 말한다. 이 지식표상은 형식규약 (formal convention) 의 체계와 그 규약들의 의미를 해석 (interpretation) 하는 방법으로 구성되며, 곧 지식베이스 (knowledge base) 와 그것을 조작하는 해석자 (interpreter) 부분으로 나누어 볼 수 있다. 지식표상의 여러가지 방법 중 논리근거표상 (Logic-based representation) 은 바로 논리라는 형식추론 (formal reasoning) 의 도구를 사용하고 있으며 여기에 사용되는 논리는 주로 1 계술어논리 (First-order predicate logic) 이다. 1 계술어논리는 19 세기 말과 20 세기 초에 걸쳐 프레게 (G. Frege), 러셀 (B. Russell) 과 화이트헤드 (A. N. Whitehead) 에 의해 발전되었ㄷ. 그들은 수학의 논리적 기초를 세우고 발전시키는 데 관심을 가졌다. 그리고 그들에 의해 형식논리가 비수학적 정보와 추론과정도 표현할 수 있다는 생각에서 인간의 사고를 완벽하게 표현하는 것을 목표로 발전되었다. 만약 형식논리체계들이 효율적으로 컴퓨터에 구현될 수 있다면, 그 체계들은 무오류와 인간이 가질 수 없는 정확한 결과들에 근접하는 것으로 인간의 지능을 능가할지도 모른다는 것이다.

인간이 논리적으로 정확한 형식규칙 (formal rule) 의 사용을 추론하지 못하는 주요 원인 중 하나는 결론을 이끌어 내는 연역 (deduction) 과정에 작업기억 (working memory) 에서 처리하기에는 지나치게 많은 단계들이 포함되어 있기 때문이다. 그에 비하면 일상적인 상황에서 발견법적 추론 (heuristic reasoning) 이 보다 적은 기억정도와 빠른 처리로 비교적 정확한 결과들을 산출한다고 여겨지고 있다. 그러한 점에서 비교할 때, 컴퓨터는 큰 용량의 작업기억을 가지고 계열적 처리 (serial process) 를 신속하게 수행할 수 있다는 이점이 있다.

일반문장 'Everybody loves somebody sometime' 을 1 계 논리로 표현하면 다음과 같다.

(∀x ∈ Persons ) (∃y ∈ Persons) (∃t ∈ Time) LOVES (x, y, t)

여기에서 x, y, t 는 변수 (variables), Persons 는 사람들의 집합, Time 은 시점들의 집합, LOVES 는 참-거짓의 진리값을 취할 수 있는 함수 (function), 즉 술어 (predicate) 이며, ∀ 은 보편양화사 (universal quantifier), ∃ 는 존재양화사 (existential quantifier) 이다. 단, 1 계 논리 (first-order logic) 에서는 개체적 변수에 대한 양화사만이 허용되고 술어 (predicates) 나 개체들의 집합 (Set of individuals) 에 대해서는 양화사의 적용이 허용되지 않으며, 고계논리 (higher-order logic) 에서만 허용된다.

1 계 논리체계는 1 계 형식언어 (first order formal language) 와 변형규칙 (transformation rules) 으로 구성된다. 형식언어는 자유, 속박변항 (variables), 개체, 함수, 술어상항 (constants), 논리기호 (logical symbols) 와 보조기호 (auxiliary symbols) 들로 구성된다. 변형규칙은 공리들 (axioms) 과 추론규칙 (rules of inference) 으로 구성되며, 추론규칙으로는 전건긍정법 (ModusPonens) 과 보편일반화 (Universal Generalization) 가 있다.

형식논리에서 가장 중요한 면의 하나는 다른 정형식 (wff : well-formed formula) 으로부터 새로운 정형식 (wff) 을 유도 (derivation) 해내기 위한 추론규칙이 있다는 것이다. 기존의 문장들의 지식베이스로부터 새로운 문장의 연역을 가능케 한다는 것이다. 그래서 만약 지식베이스의 문장이 참이면, 유도된 문장도 참이라고 해석한다. 이것이 인간에 의한 혹은 기계에 의한 정리증명 (Theorem Proving) 의 기본이다. 그러므로 참이 될 수 있는 새로운 사실을 도출 (deduce) 할 정리증명과 영역에 관한 문장을 표상하기 위해서 정형식 (wff) 을 사용하는 것은 AI 의 논리에서 가장 효과가 있는 방법 중 하나이다.

AI 에서 형식추론 (formal reasoning) 은 상당히 유용한 도구이다. 형식증명절차 (formal proof procedure), 이른바 '해결법 (Resolution Method)' (I. A. Robinson, 1965) 은 조건문 (if-then statement) 을 And, Or, Not 에 의한 문장으로 변환시켜 다루는 논리적 처리 방식으로 디지털 컴퓨터에 효과적으로 적용되며 발전되었다. 그리고 계획 (planning) 적용에 있어서 잘 알려진 것으로는 초기단계에서 목표단계로 로봇을 이동시키는 문제를 다룬 STRIPS 이 있다 (Fikes and Nilsson, 1971). 그 표현의 한 예를 살펴보면 다음과 같다.

∃x [((A T(Box 1, x) ∧ A T(Box 2, x) ∧ A T(Box 3, x)]

형식논리의 한계는 1930 년대에 처음 메타수학적 정리들 (metamathematical theorems) 이 증명되면서 드러나기 시작했다. 괴델의 불완전성 정리에서 증명 불가능한 진리치의 논리식의 존재함이 증명되어 형식논리체계의 근본적인 한계가 드러났으며, 처치 (Church) 의 결정불가능성 정리 (Undecidability theorem) 는 유한의 단계에서 논리식의 증명의 존재를 결정하기 위한 절차 (procedure) 가 존재하지 않는다는 것을 보여주었다. 이러한 제한정리들의 실제적인 의미는 어떠한 증명절차도 실제 참인 문장들을 증명하기 위한 시도들을 곧바로 포기하거나 거짓임을 증명하기 위한 시도로 시간 낭비하는 것을 피할 수 없다는 것이다. 괴델의 불완전성 정리는 1 계논리가 기본적 산술을 포함할 만큼 충분하게 확장되었을 때, 완전성 정리는 유지될 수 없으며 어떠한 고정된 형식증명절차로도 증명될 수 없는 참인 문장이 존재한다는 것을 말해 준다.

AI 에 대한 결정불가능성과 불완전성 정리의 결과가 함의하는 의미에 대해서 여러 행 걸친 논의들이 있었다. 그런데 현재 다수의 연구자들은 위의 결과들이 AI 기계의 가능성을 배제하지 않는다는 점에 동의하고 있다. 그러나 제한이론들에 의해 인간과 컴퓨터가 동일한 방식으로 제한된다는 점은 논의될 수 있다. 즉, 불완전성과 결정불가능성은 고정된 형식연역체계에 한정된 어떠한 정보처리체계도 한계를 지니고 있음을 증명해 준다. 그러므로 인간이 이러한 한계를 극복하기 위한 수단을 가질 수 있다면 그것은 곧 기계의 한계도 극복할 수 있음을 시사한다.

그러나 보편적이고 변하지 않는 성격의 수학적 영역으로부터 시간과 상황에 따라 변화하는 실제세계 영역에 1 계논리를 확장시키는 데에는 많은 어려움이 있다. 그러한 어려움은 지식을 명쾌하다고 보고, 논리적으로 다루어질 수 있고, 한정될 수 있다는 견해와 지식과 추론이 본질적으로 명쾌한 것이 아니며 발견법적 (heuristic) 속성이라고 보는 견해 간의 이른 바 '명료-비명료 (neat-scruffy)' 논쟁을 야기시켰다. 보는 관점에 따라 일련의 연구자들은 1 계논리를 비수학적 지식에 이르기까지 확장하는 작업을 계속하고 있으며 (McCarthy, 1980), 그와 상반되는 견해를 가진 연구자들은 잘 알려지지는 않았으나 논리적 표상들이 지닌 문제들을 감소시켜 주는 다른 표상과 처리를 채택하고 있다. AI 연구자들은 두 가지 명료-비명료적 접근 중 어느 하나만을 받아들이고 있다기보다는 두 가지 접근을 모두 취하고 있다. 즉, 전통적인 표상의 구도를 사용하는 것뿐 아니라 허용된 범위 내에서 새로운 추론의 양식으로 보완하는 작업도 병행하고 있다. 가령 가드너 (Gardner, 1987) 는 사례들의 발견법적 사용에 의해 보완된 전통적 형식의 네트워크를 사용하고 있으며, HYPO (Ashley, 1990) 에서는 사례근거기법 (case-based technique) 으로 보완된 전통적인 틀을 사용하고 있다. 또한 Rissland 와 Skalak (1991) 은 전통적인 규칙근거기법 (rule-based technique) 과 사례근거기법을 통합하고 있다 (E. L. Rissland, 1995).



2) 인공지능의 논리학
표준논리학 (standard logic) 은 고전적 명제논리학 (propositional logic) 과 현대의 술어논리학 (predicate logic) 으로 구성되고, 이외의 논리학은 비표준논리학 (nonstandard logic) 으로 분류될 수 있다. 비표준논리학은 표준논리학의 연장으로 볼 수 있는 성격의 논리학과 표준논리학의 새로운 대안으로 볼 수 있는 성격의 논리학으로 대별된다. 전자에 속하는 것이 양상논리 (modal logic), 시간논리 (temporal logic) 이며 후자에 속하는 것이 다치논리 (multi-valued logic), 퍼지논리 (fuzzy logic) 그리고 직관주의논리 (intuitionistic locic) 이다.

1980 년대를 중심으로 특히 프로그램이 참임을 입증 (verification) 하고 명세화 (specification) 하는 면에서 비표준논리가 컴퓨터과학에 본격적으로 도입되기 시작하였다. 가령 양상논리는 역동논리 (dynamic logic) 의 형태로 프로그램 속성들의 증명과 진술을 수월하게 하는 데 쓰였다 (Harel, First order dynamic logic, 1979). 프로그램들이 상태들 (states) 사이의 관계로 간주되어 각 프로그램은 은연중에 양상논리의 연산을 유입되어 있다. 필연성 (necessity) 과 가능성 (possibility) 이라는 형이상학적 개념을 다루는 양상논리에는 두 가지 새로운 연산, 필연적임을 의미하는 L 과 가능적임을 의미하는 M 이 추가되어 있다. 가령 A 가 어떠한 가능한 세계에서 참이라면 MA 는 참이다. 그리고 A 가 모든 가능세계에서 참이라면 LA 는 참이 된다. 현재 양상논리에는 여러 가지 체계가 있는데, 양상논리 T 는 기존 술어논리의 공리에 LA → A 와 L(A → B) → (LA →LB) 가 추가되고 필연화 규칙 (necessitation : A → LA) 이 추론규칙으로 새로이 추가된다. S4 는 T 에 MA → LLA 를 추가한 체계이고, S5 는 S4 에 MA → LMA 를 추가한 체계이다. 이러한 양상논리의 도입으로 인하여 비교적 자연스러운 방식으로 지식의 여러 가지 속성들이 표현가능하게 되었다.

시간성 요소에 의한 추론을 시도한 시간논리는 의미론적 접근의 콰인 (Word and Object, 1960) 과 구문론적 접근의 프라이어 (Time and Modality, 1957) 에 의해 형성되었으며 만나 (Z. Manna) 와 파넬리 (A. Pnueli) 에 의해 컴퓨터과학에 적용되었다 ('The modal logic of programming', 1979). 현재 사용중인 프로그램들에 의해 유입된 단계들의 논항렬 (sequence) 에 관한 추론의 방법으로 시간논리의 형식을 도입하게 된 것이다. J. Halpern, Z. Manna, B. Maszkowski 는 하드웨어의 회로를 상술하는데 시간논리의 변형을 채택하였다 ('A hardware semantics based upon temporal intervals', 1983).

직관주의논리는 Martin-Löf 의 유형론 (theory of types) 의 형태로 프로그램의 상술, 구성, 입증의 과정에 대한 완전한 이론을 제공하고자 하였다. 이 주제와 유사한 주제가 R. L. Constable ('Constructive mathematics and automatic program writers', 1971) 과 Beeson ('Proving programs and programming proofs', 1983) 에 의해 다루어졌다.

양상논리와 시간논리의 능력은 표현능력과 관련된 것이다. 이러한 논리체계 내에서는 세련되고 자연스러운 방식으로 프로그램들의 속성이 표현될 수 있기 때문이다. 이것은 대부분 술어논리의 한계를 넘어서는 풍부한 어휘로부터 기인한 것으로 평가할 수 있다. 그런데 직관주의논리의 경우에는 고전논리와 대립되는 것으로 분류되며 컴퓨터과학에 고전논리와 수학보다는 적합한 준거틀 (frame of reference) 이라는 것이 그 전제이다.

컴퓨터과학과 AI 는 구별된다. 컴퓨터과학은 인간이 잘 수행할 수 없는 일이나 현실적으로 수행하기 어려운 일을 극복하기 위한 시도이고, AI 는 사람이 능히 해낼 수 있는 일을 특수한 상황하에서 기계를 통해 마치 인간처럼 수행시키려는 시도로 정의된다. AI 에서 사용되는 비표준논리들의 적하성은 맥카시와 헤이즈 ('Some philosophical problems from the stand point of artificial intelligence,' 1969) 이후 논쟁의 주제가 되었다. 사실 이 문제는 아직 해결되지 않은 논쟁의 대상이다.

다치논리는 E. Post (1920) 이후 J. Luckasiewicz ('On 3-valued logic,' 1920) 과 D. Bochvar ('On three-valued logic and its application to the analysis of contradictions,' 1939), 그리고 S. C. Kleene (Introductions of Metamathematics, 1952) 에 의해 각각 다른 형태로 발전되었다. 그리고 2 치논리의 한계를 극복하고자 진리치의 퍼지화와 연산의 퍼지화를 시도한 퍼지논리는 자데 (L. A. Zadeh) 에 의해 개발되었다 ('Fuzzy Sets', 1965). 이러한 논리들은 불완전한 정보와 모호한 영역을 다루기 위해 AI 에 도입되었다. 대부분의 전문가 시스템은 모든 요인들이 의사결정을 하는 데 유용하지 않더라도 선택을 해야 한다. 그런 상황 속에서 고전논리와 달리 불완전한 정보를 가지고 추론하기에 적합한 논리를 사용하는 것은 당연한 일이다. 주로 AI 협회에 의해 발전되어 온 비단조논리 (non-monotonic logic) 는 불완전한 정보를 가진 추론을 다루기 위한 것이다. AI 와 자연언어에서의 많은 개념들이 모호한 것이라 주장되고 그러한 '모호성 (vagueness) 의 논리' 가 적절하다고 제안된 것이다. 이러한 여러 가지 적용들은 철학적으로 그리고 실용적으로 논쟁중에 있으며, 그 전체적 연구영역은 수많은 과제들을 포함하고 있다. 비단조논리와 관련하여 라이터 (B. Reiter) 의 Default nonmonotonic logic,' 1983) 의 자기인식논리 (autoepistemic logic), 맥카시 ('Circumscription - a form of non-monotonic reasoning,' 1980) 의 한정논리 (circumscription logic) 등이 있으며 상식 (common sense) 의 표현 처리와 관련하여 정황논리 (context logic) 등이 활발히 연구 중에 있다 (J. McCarthy, 'Notes on formalizing context,' 1993).

지식 (knowledge), 믿음 (belief), 행위 (action) 를 다루는 형태로의 양상논리는 무어 ('A formal theory of knowledge and action,' 1984) 와 코노리게 ('A first order formalisation of knowledge and action for a multi-agent planning system,' 1982) 에 의해 AI 에 도입되었다. 무어는 지식의 논리가 양상논리 S4 와 등가임을 소개하고 각 수행개체 (agent) 들의 지식에 관한 추론의 용이성을 가진 프로그램의 전개에 활용하였다. 코노리게 (K. Konolige) 는 컴퓨터 수행개체들이 지식, 행위 계획수립의 상호 작용을 포함하는 협동적 과제를 수행할 수 있도록 모델화하기 위해서 양상논리의 형식을 채택하였다.

시간논리가 AI 에 도입된 것은 더욱 최근의 현상이다. 응용되는 주된 분야는 사건, 행위, 계획의 형식화이다. 특별히 맥더모트 ('A temporal logic for reasoning about actions and plans,' 1982) 과 알렌 ('An interval based representation of temporal knowledge,' 1981) 의 연구에 주목할 필요가 있다. AI 에서 비표준논리를 사용하는 것이 놀라운 일은 아니다. 철학적 논리학자와 AI 연구자들의 과제는 상당히 유사한 것으로, 매일 행해지고 있는 추론의 특정 측면을 형식화하는 것에 모두가 관심을 가지고 있다. 그러므로 어떤 의미에서 AI 에서 필연성 (necessity), 가능성 (possibility), 시간 지식 믿음에 대한 논리의 전개는 당연한 것이다. 지식표상에 관심을 가진 AI 연구자들에게는 중심적인 관심사가 아닐 수 없기 때문이다. 비표준논리학은 AI 연구자들에게 정확한 도구를 제공하여 준다. 물론 그 도구는 다소 더욱 다듬어질 필요가 있는 것일 수도 있다. 그러나 그 도구의 능력은 수학적 기반으로부터 유래된 것이다. 일반적으로 비표준논리에 속하는 논리들 역시 적정의 (well-defined) 된 구문론이고 명확한 의미론이며 잠재적으로 AI 연구자들에게 매우 정확하고 세련된 도구를 제공한다 (R. Turner, 1984 참조).



5. 인지과학의 논리
지난 40 여 년 동안 형식논리는 AI 에서 중요한 역할을 담당해 오고 있다. 물론 그 역할에 대한 논쟁 역시 계속 진행중에 있다. 현재까지 AI 에 있어서 논리의 역할은 첫째, 분석적 도구로 둘째, 지식표현 형식체계와 추론의 방법으로 셋째, 프로그래밍 언어로 구분하여 평가할 수 있다. 그러나 아직 세상에 관한 일반적 요소들을 논리적 문장으로 표상하는 단계는 목표에 불과하다.

인지과학의 장기적 목표의 하나는 복잡한 실제 상황 속에서 인간처럼 혹은 인간 이상으로 감각하고, 추론하고, 대화하고, 활동할 수 있는 기계의 이론적ㆍ실제적 구현에 있다고 할 수 있다. 비록 AI 분야에서 다소 실용적으로 유용한 기계를 생산해 왔다고 해도 일반적으로 그 궁극적 목표와는 아직 거리가 멀다. 그렇기 때문에 인간의 인지에 대한 최상의 접근방법에 관하여 많은 논의와 구상들과 이에 따른 여러 가지 새로운 논리적 패러다임들이 필요하다.

AI 의 기술이나 개념, 이론들이 현재 진정한 의미에서 '지능적' 이라 할 수 있는 기계를 만들어 내기에 유용하고 적절한 도움이 될 수 있는가? 새로운 이론과 구상들의 본질적인 증대가 필요한가? 그렇다면 어떠한 영역에서 필요한 것인가? 혹은 단지 고속 대형의 컴퓨터를 필요로 하고 있는 것인가? 혹은 AI 연구의 주류가 부적절한 길을 추구하고 있어서 전적으로 새로운 접근이 필요한 것인가? 혹은 AI 의 목표가 원칙적으로 불가능한 것인가? 이러한 질문들이 바로 인지과학의 논리가 해결해야 할 구체적인 과제들을 함축하고 있다.



6. 결론
끝으로 다음과 같은 점들을 지적하고자 한다. 첫째, 괴델 (Gödel) 은 인공지능에 기회를 주었고, 이로써 그는 마음의 창문을 더 활짝 열었다. 둘째, 논리학이 인지과학 연구에 통합된 도구로 중요하게 쓰이고 있다. 셋째, 인지과학은 인공지능의 논리와 인지심리학 간의 상호교류 연구를 모색하게 한다. 그러나 아직 이러한 연구 접근 방식에 대한 자료나 연구가 부족한 실정이어서 그 목적과 방법을 구체적으로 표현하는 데 어려움이 많다. 근본적으로 서로 다른 이 분야들을 통합시킬 수 있는 이론이 필요하다 하겠다. 넷째, 귀중한 국가적 자산이 될 이 연구가 갖는 학제적인 속성, 문제의 복잡성, 국제학계의 상황을 고려할 때 체계적인 공동연구와 인지과학 육성책이 없이는 한국의 인지과학의 꿈은 단지 오랜 꿈으로 남게 될 것이다.



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