초끈이론과 M 이론, 양면성, 그리고 D 브레인에 대하여
이 필 진
서 론
1994년 이후 얻게된 초끈 이론에 대한 새로운 이해를 모아, 흔히 제2의 초끈 혁명이라 부른다. 혁명이라는 다소 과격한 언어의 사용은 젊은 층이 많은 초끈 이론 학자들의 성격을 반영하기도 하지만, 전혀 의미 없는 수식은 아닌 듯 하다.
근대 과학사에 있어, 혁명적인 발전이 이루어진 예는 그리 많지 않은데, 케플러의 타원궤도, 뉴턴의 역학과 중력이론, 맥스웰이 완성한 전자기장 이론, 아인슈타인의 상대성 이론, 코펜하겐 학파의 양자론, 양자 장론과 게이지 이론의 도래 정도라면 혁명이라는 말이 적합하고도 남으리라. 그 중에서, 맥스웰의 전자기장 이론과 아인슈타인의 상대론은 매우 깊은 연관이 있는데, 과연 제2의 초끈 혁명이 무엇을 하였는지, 앞으로 무엇을 해줄지에 대해 막연하나마 이해를 도울 것 같아 본론에 앞서 그 이야기를 해볼까 한다.
19세기까지의 물리학의 중요한 대상이라면, 천체운동과 전자기 현상을 들 수 있다. 그 중 천체의 운동의 중요성은 비단 학문적인 데서 끝나는 것은 아니었다. 예를 들어 별과 행성의 정확한 이해를 통해 대양에서 선단이 자신의 움직임을 정확히 파악할 수 있는 방법을 찾는 것이 중요한 문제 중의 하나였다. 물론 이에 필요한 이론적 틀은 이미 케플러와 뉴턴에 의해 17세기까지는 완성을 보았으므로, 이 틀을 정확히 실용적으로 사용하는 문제만 남아 있다고 생각한 사람들이 대부분 이었으리라.
저자의 짐작에, 좀더 학문적인 대상이었을 것이라 생각되는 것은 전자기장 현상이다. 생각하기에 따라서 지구상에서 가장 보기 쉬운 현상들이 모두 전자기장과 관련되어 있지만, 그 종류가 너무나 다양해서, 혹은 생명체 내부의 미시 세계에서처럼 쉽게 볼 수 없어서, 그 모든 현상을 하나의 체계로 설명하는 것이 그만큼 더 어려운 일이었을 것이다. 천문학과 달리, 근대 이전에는 전자기 현상에 대한 어떠한 구조적인 접근도 없었던 이유가 여기 있지 않을까?
번개와 천둥, 정전기 현상, 자석의 존재 등이야 선사시대부터 끊임없이 재발견되어왔을 것이고, 빛에 대한 고찰은 형이상학적인 혹은 종교적인 대상으로서 주로 이루어지지 않았나 생각된다. 이러한 현상들이 하나의 자연현상으로 인식되는 전기를 마련한 것은 결국 맥스웰의 전자기장 이론에서 완성을 본 쿨롱, 패러데이 등의 연구를 통해서임을 굳이 말할 필요는 없으리라. 그러면 과연 맥스웰이 한 일은 무엇이고 그 여파는 무엇이었나 잠시 생각해 보자.
전자기장 이론은 그 이름이 말하는 것과 같이 첫째 전기현상과 자기현상을 하나의 체계 안에 집어넣은 것이다. 움직이지 않고 있는 전하에 의해 생기는 것이 전기장이라면 움직이는 전하에 의해 발현되는 것이 자기장이라는 아주 간단하고도 놀라운 사실을 수학적으로 기술한 것이다.
E와 B는 전기장과 자기장이고, ρ와 J는 전하 및 전류의 분포, ε0과 μ0는 각각 쿨롱과 패러데이의 실험에서 관측된 상수들인 유전률과 자기 투과율이다.
이렇게 쓰여진 전자기장 이론 안에는 정전기와 자석과 같이 눈에 쉽게 인지되는 현상 이외에도, 파동형의 전자기장이 숨어있는데, 가장 놀라운 사실은 그 진행 속도가
으로서, (주어진 물질 내에서) 일정하고, 대기 중에서의 값이 당시 이미 관측된 빛의 속도와 같았다는 사실이다. 빛이 사실은 전자기파라는 것을 알아낸 이 사건은 이론을 통한 과학적인 유추로서 자연의 비밀을 벗긴 중요한 일례로 생각된다. 여기서 강조하고 싶은 것은, 이 결과가 알려진 전자기장의 성질들을 모아 한 묶음으로 조합한 결과로서, 이론적인 부산물이었다는 점이다.
특히 전자기파/빛의 속도가 일정하다는 사실은, 후일 특수 상대론을 낳는 결정적인 단서가 되었다. 우리는 일상에서 물체의 속도가 관측자 자신의 속도에 따라 다르게 보이는 것을 잘 알고 있다. 서있는 나의 옆을 지나가는 자동차와 내가 운전하는 차를 따라 움직이는 차는, 적어도 나의 관점에서는, 현격히 다른 속도로 움직이는 것처럼 보인다. 전자기파의 경우 이런 일상적인 경험과는 달리, 누가 어떤 상태에서 보더라도 동일한 속도로 진행한다는 예측인데, 이로서 19세기까지 뉴턴의 영향에 의해 지배되던 역학에 대한 전면적인 부정이 시작되었다고 할 수 있다.
아인슈타인이 특수 상대론을 써야 했던 데에는, 맥스웰의 방정식과 부합하는 역학이 필요했기 때문이었고, 일단 특수 상대론적인 역학 체계를 받아들이면, 다시 뉴턴의 중력 이론 또한 버릴 수밖에 없었고, 이를 수정하여 상대론적 체계를 만든 것이 일반 상대론이었다. 이런 의미에서 맥스웰로부터 20세기의 물리학이 시작되었다 해도 과언은 아닐 것이다.
초끈이론, M 이론, 그리고 양면성
맥스웰이 활동한 19세기 후반기의 물리학은 어쩌면 지금 현재의 초끈 이론 학자들이 보는 이론 물리학과 유사한 점이 많다고 볼 수 있다. 현재, 미시세계에서의 양자장론 특히 게이지 이론과 거시세계에서의 일반 상대론의 두 범주 안에서, 모든 가속기 실험에서부터 우주의 진화까지 대부분 설명되듯이, 19세기 당시 뉴톤의 역학으로 물체 특히 천체들의 운동이 완벽하게 설명되는 듯 했다. 그럼에도 불구하고 당시의 물리학은 물질의 근원에 대한 이해가 가능하지 않은 체계에 기반을 두고 있었다. 원자의 구성요소로 곧 밝혀질 핵과 전자가 어떻게 안정된 묶음으로 존재할 수 있는지 설명할 방법이 없었다. 맥스웰의 전자기장 이론은 두 고전적인 전하가 안정된 속박궤도의 형태를 만들 수 없음을 또한 이야기해 주고 있기 때문이다. 가속운동을 하는 전하는 전자기파의 복사를 통해 그 에너지를 잃기 때문이다.
마찬가지로 현재의 이론 물리학의 고민 역시 물질의 근원을 완전히 파악하지 못하고 있다는 데 있다. 양자 역학, 게이지 장론, 초끈 이론으로 이어지는 몇 번의 변혁 이후에도 무엇인가 중요한 요소가 빠져 있음직한 것은 여러 가지 정황으로 알 수 있다. 19세기말과 다르다면, 당시에는 맥스웰 이론과 뉴턴 이론의 충돌이외에도 여러 가지 실험적인 문제점들이 나타나기 시작한 데 반해, 현재의 고민은 전적으로 이론의 완성도에 있다는 정도이다.
이제 본론으로 돌아와서, 초끈 이론 혹은 M 이론으로 불리우는 새로운 이론 체계와 양면성에 관해 이해해보자. 전기와 자기의 통합을 위해 맥스웰 이론이 필요하듯, 초끈 이론의 첫째 임무는 양자론과 일반 상대론 (중력)의 통합에 있다. 현재까지 알려진 이론 체계 중 유일하게 이에 성공했다는 사실 하나로, 실험적인 검증이 전무함에도 불구하고, 자연의 근본 이론일 것으로 추정되고 있다는 사실에서 양자론과 중력의 조화가 얼마나 어려운 일이었는지를 짐작할 수 있다. 어찌 보면, 초끈 이론의 가장 놀라운 점은 그 존재 자체에 있다고 할 수 있다.
초끈 이론은 기본적으로 섭동 이론이다.[1]
모든 섭동 이론의 한 공통점은 주어진 계의 성질을 한꺼번에 모두 볼 수 없다는 데 있다. 현상을 둘로 나누어, 잘 안 바꾸어지는 부분, 즉 배경(background)과 나머지의 잘 바꾸어지는 부분, 즉 주어진 배경 위에서의 작은 진동(small excitation)으로 나누어 시작하는 방법론 때문이다. 섭동 이론의 효용성은 주어진 배경에서의 작은 진동들의 이해에 있을 뿐, 주어진 배경이 어떻게 만들어 졌는지에 대해 많은 정보를 주지 못한다. 일반적인 장론에서는 섭동 이론이 단지 계산을 위한 도구인데 반해, 초끈 이론에서는 이론 자체의 구성이 섭동적이라는 중요한 차이가 있음으로 해서, 장론에 비해 배경(background)의 이해가 어려운 사실을 일단 기억하자.
사실 중력을 무시하는 이론이었다면 이런 문제는 그리 중요하지 않을 수도 있으나, 중력을 기술하는 이론에서 이는 매우 중요한 관건이 된다. 왜냐하면, 아인슈타인이 설파했듯이 중력 자체가 시공간이 어떻게, 왜 만들어졌는지에 대한 정보를 주어야 하기 때문이다. 어떠한 배경도, 시공간을 떠나 생각할 수 없으므로, 배경의 이해 없이는, 시공간의 이해가 부족하고, 따라서 이론 자체의 이해가 그만큼 모자랄 수밖에 없다.
이러한 초끈 이론들의 또 하나 재미있는 성질은, 작은 진동의 기본적인 실체인 초끈의 종류가 5가지뿐이라는, 많다면 많고, 적다면 적은 숫자라는 점이다. 즉 IIA, IIB, I, Heterotic SO(32),
Heterotic E 8×E8의 5가지의 다른 초끈 이론이 존재하고, 자연은 그중 하나를 선택해야 했다는 것이다. 왜 하필 5 가지인지, 또 왜 그 중의 하나만이 우리의 우주를 설명하는지 궁금해질 수밖에 없는 대목이다. 이 의문점이 위의 섭동 이론임에 의해 제기되는 문제점과 직결되어 있음을 발견한 것이 제2의 초끈 혁명의 중심에 있는데, 즉 실제로 초끈 이론들의 모태가 되는 11 차원적인 M 이론이 있고, 5가지의 초끈 이론들은 이 M 이론을 다른 "배경"에서 기술하는 결과로 생기는 근사적고 섭동적인 이론들이라는 발견이다.[2]
비유를 들면, 온도에 따라 초전도체가 되는 물질의 경우, 원론적으로는 항상 전자의 양자적 운동에 의해 기술될 수 있으나, 일단 온도가 낮아져서 초전도체가 되면, 각각의 전자보다는 쿠퍼쌍(Cooper pair)이라는 전자 둘씩의 합체로서 더욱 잘 기술되는 것이 이미 잘 알려져 있다. 이렇게 상황 즉 "배경"에 따라 다른 종류의 작은 진동들이 더 중요해지는 경우를 쉽게 찾아 볼 수 있는데, 다른 상황에서 다른 기술 방법이 나타나는 이러한 현상이 넓은 의미에서의 양면성이라고 부를 수 있다.
양면성이란?
몇 가지 의미에서 위의 예는 적절하지 못한데, 가장 중요한 차이를 짚고 넘어가자. 초전도체 예의 경우, 근본적인 이론인 전자의 양자역학이 이미 알려져 있는 체계이고, 쿠퍼쌍의 사용이 단지 편의를 위한 도구임에 비해, 초끈의 모체라고 주장되는 M이론의 경우 실질적으로 거의 알려진 것이 없다는 사실이다. 따라서, 초끈 학자들의 관심거리는 초끈 이론의 구조를 통해 이 M이론을 어떻게 재구성하고 발견하는가에 맞추어져 있다. M 이론이라는 이름이 생긴 이유 중의 하나를 이론의 구조를 모른다는 의미에서, "Mystery"의 약자에서 왔다고 말하는 사람도 있는데, 현 상황을 잘 설명하는 이야기이다.
전자와 양자 역학이 주어진 상황에서 쿠퍼쌍을 통한 기술이 적절한 경우를 유추하여 이들의 운동을 기술하는 것은 어렵지 않은 일이나, 거꾸로 초전도체와 쿠퍼쌍에 해당하는 물체를 먼저 발견했다면, 이들이 전자의 운동양식의 일부임을 알아내는 것은 쉽지 않은 일이었을 것이다. 초끈 이론이 당면한 문제는 바로 이와 같은 것이다.
그러나, 초끈의 경우 이런 실생활의 예와 근본적으로 다른 성질을 또 하나 갖고 있는데, 이는 초끈 자체가, M 이론의 구조를 어느 정도 내포하고 있을 것이라는 것이다. 어떻게 M 이론의 존재를 알 수 있었고, 어떻게 그 구조를 일부나마 발견할 수 있었는가 하는 질문을 하게 되는데, 이에 대한 해답은 초끈이론 자체가 M 이론의 구조를 어느 정도 알고 있으므로 해서, 일종의 reverse engineering을 사용하는 것이 가능했다는 데 있다. 마치 구조를 모르는 반도체 칩을 재구성하기 위해 가능한 모든 신호에 대한 반응을 살펴보듯, 초끈 이론들의 모든 구석 구석을 이해함으로서 M 이론의 이해가 부분적으로 가능했던 것이다.
예를 들어, 실제로 두 가지의 다른 초끈이 한 M 이론의 다른 모습인 것을 아는 것은, M 이론에서 시작하여 이 두 가지 초끈 이론을 유도해서가 아니라, 두 초끈 사이의 관계를 직접 관련시키는 데에서 시작한다. 더구나, 이러한 초끈 사이의 상관 관계가 M 이론이라는 하나의 체계가 존재한다고 가정함으로서 쉽게 이해된다면 M 이론의 존재에 신빙성을 주고, 또한 그 M 이론의 구조를 일부 알려주는 것이다.
따라서, 관건이 되는 것은 하나의 초끈 이론 안에 어떠한 숨겨진 구조가 있고, 그 숨겨진 구조를 통해, 다른 알려진 초끈이론 혹은 전혀 새로운 이론과 연관시키는 작업의 반복이다. 이렇게, 주어진 초끈의 숨겨진 구조로부터 또 다른 종류의 초끈이론 혹은 M 이론과 같은 새로운 종류의 이론을 찾을 수 있는 성질을 일반적인 의미에서의 양면성이라 할 수 있다.
가장 간단한 일례인 T-duality의 경우를 보자. 초끈이 움직이는 배경은 일반적으로 10 차원의 시공간으로 이루어져 있는데, 이중 한 차원을 반지름 r의
원으로 만들어 보자. 초끈을 양자화하여 나타나는 상태들은 그 하나 하나가 한 종류의 입자에 해당함을 상기하고 그 양자들의 질량을 알아보자. 위와 같은 경우, 초끈의 질량 밀도를 1/2πα'라 하면, 각 입자의, 즉 양자화된 초끈의 질량은 다음과 같이 쓸 수 있다.
여기서, k은
원 방향으로의 양자운동량을, w은
초끈이 원을 감은 횟 수를 나타낸다. 두 양자수 모두 정수의 값을 갖는다. 마지막 부분은 초끈의 진동에 의한 부분으로, 특히 r에
상관없이 결정되는 특징이 있다.
그런데, 위의 식에서, k과
w을 교환함과 동시에, r과 α'/r을 교환하면, 질량의 식이 제자리로 돌아오는 것을 볼 수 있다. 이 사실에서 시작하여, 좀더 자세한 계산을 해보면 반지름 r의 배경과 반지름 α'/r의 배경이 동일한 초끈 이론을 준다는 증거로 얻을 수 있다.
단지, 여기서 구체적으로 이야기하기 힘든 이유로, 실제로는 IIA 초끈을 반지름 r 배경에서 쓰는 것과 IIB 초끈을 반지름 α'/r 배경에 쓰는 것이 동일하다는 해석이 옳다. 따라서, 예를 들면 IIA 혹은 IIB 이론에서 시작하여 이를 매우 작은 원 위에서 정의하면, 엉뚱하게도 큰 원 위의 IIB 혹은 IIA 이론에 도달하므로, IIA(B)의 원을 무한이 줄임으로서, 원이 없는 10 차원의 IIB(A) 이론에 다다른다. 이와 같이 한가지의 이론이 두 가지 다른 배경 위의 두 가지 다른 이론처럼 보인다는 의미에서 양면성을 이해하면 된다. 이 경우와 같이, 배경 시공간의 크기가 다른 두 초끈 이론 사이의 동일성을 T-duality라 한다.
여기서 중요한 사실은, T-duality의 존재를 알게 해주는 첫 신호가, 이론 안의 양자상태, 즉 입자들의 질량식이 T-duality 변환에 대해 바꾸어지지 않는다는 점이라는 것이다. 질량의 계산은 다른, 좀더 역학적인, 산란 계산 등에 비해 매우 쉬우므로, 어떤 양면성이 존재할 수 있는지를 찾는 것은 비교적 쉬운 일이다.
S-duality와 전기/자기 양면성
이제 T-duality와 함께 가장 중요한 S-duality의 경우를 생각해 보자. 초끈 이론 안에는 여러 종류의 게이지 이론이 들어 있는데, 특히 시공간의 6차원을 작은 다면체에 "compactify" 하고 남는 4 차원에서는 맥스웰의 전자기론과 비슷한 구조를 발견할 수 있다. 이에 적절하게, 위의 맥스웰 방정식을 약간 고쳐 쓰자면, 다음과 같이 된다.
여기서, 맥스웰 방정식을 좀 더 상대론적으로 쓰기 위해 E와 ρ를 빛의 속도 c로 나누어주었고, 또한 좀더 일반적인 이론으로 쓰기 위해, 자기장을 주는 자기전하와 그의 자기전류를 오른편에 넣었다. 전하(전류)와 자기 전하(전류)의 구분을 위해 각각 e와 m의 첨자를 삽입하였다,
이 방정식에는 잘 알려진 성질이 있어, E와 B를 어느 정도 변환해도 그 모양이 유지되는데, 방정식을 복소형으로 쓰면,
으로, (E+iB)와 (ρe+iρm)에 동시에 eiθ를 곱해서 돌려주어도 방정식의 변화가 없다. 이때 전하와 자기전하를 섞는 현상이 발생하는데, 따라서 이 현상은 흔히 말하는 대칭성은 아니다.
이 성질의 올바른 이해를 위해서 Dirac Quantization에 대한 이야기를 잠깐 하자. 양자역학의 범주 내에서, 전하와 자기전하가 공존할 때 둘 사이에는 중요한 상관 관계가 있는데, 각각의 양을 e와 g로 표시하면
로 정수이어야 한다는 조건이다. 이는 전하 e의 양자 상태가 자기전하 g의 주변에서 정의될 수 있다는 기본적인 요구에 의한 조건인데, 이를 Dirac quantization이라 한다. 위의 변환을 이 조건에 적용하면,
이므로, 실제로 양자 역학적으로 가능한 변환은 cos(2θ)이 1 혹은 -1인 경우 뿐이다. 1인 경우는 실질적으로 변화가 없으나, -1인 경우는, E,
e가 B, g로, B,
g가 -E,
-e로, 혹은 E, e가 -B,
-g로, B,
g가 E, e로 변환되는 경우이다. 이처럼 전기적인 양과 자기적인 양이 서로 위치를 바꾸어도 이론의 모습이 달라지지 않는 현상을 일컬어, 전기/자기 양면성이라 한다.[3]
물론 모든 것이 보존되는 것은 아니다. e는 단순히 어느 전하의 양일뿐 아니라, 전자기 이론의 상호 작용을 관장하는 작용 상수의 역할을 하는데, e를 g로 변환하면, 작용상수 역시 g로 바꾸어진다. 특히 Dirac quantization 조건에 의해 e가 작으면 g =2πn/e는 커질 수 밖에 없으므로, 위의 변환은 상호 작용이 작은 (큰) 이론에서 상호 작용이 큰 (작은) 이론으로 변환을 한 것에 해당한다.
초끈과 같이 좀더 일반적인 상황에서는, 이와 같은 변환을 통해 상호 작용이 작은 한가지 이론 (가)를 상호 작용이 큰 다른 이론 (나)로 변환할 수 있는데 이렇게 일반적인 경우를 통털어 S-duality라 한다. 위의 5 가지 초끈 이론 중 I과 Heterotic SO(32)이 이런 상관 관계를 가지고 있고,[4] IIB
이론의 경우 위와 비슷하게 S-duality에 의해 작용상수가 다르나 형태는 동일한 IIB 이론으로 돌아오는, 소위 self-dual 이론에 해당한다.[5]
D 브레인
위의 T-duality변환에서 IIA 이론과 IIB 이론 사이의 관계를 알 수 있었던 데에는, 양자 운동량 k와 감긴 횟수 w가
교환될 때 보존되는 입자들의 질량식이 있었기 때문이다. 마찬가지로, 위의 전기/자기 혹은 S-duality 변환이 가능한 전제 조건에는 e에 해당하는 물체가 이론 (가)에 있으면 g에 해당하는 물체도 이론 (나)에 있어야 하고, 그 질량의 상관 관계가 이러한 변환에 의해 보존되어야 한다는 사실이다. 실제의 전자기 이론에서는, 전자나 양성자 등에 상응하는 자기 전하를 가진 물체들을 관측한 적이 없는 이유로 해서, 위와 같은 S-duality는 기대하기 어렵다. 그러나, 초끈 이론은 매우 높은 에너지에서의 이론이며, 무한히 많은 종류의 입자들을 내포하고 있으므로 이러한 성질을 기대할 수도 있다.
그럼에도 불구하고, 100% 섭동적 초끈 이론에서는 S-duality가 있을 수 없는데, 이는 작용 상수의 크기가 큰 이론과 작은 이론 사이의 변환이기 때문이다. 작용상수가 큰 섭동이론이란 개념 자체가 있을 수 없기 때문이다. 여기서, 독자들은 의문이 생길 것이다, 위에서, 초끈 이론은 모두 근본적으로 섭동적이라 하였고, 한편 이런 초끈들 사이에는 작용 상수를 크고 작게 바꾸는 S-duality 변환이 가능하다고 하였는데, 이렇게 섭동적인 이론들 내에서 후자를 어떻게 발견할 수 있었는지 하는 질문일 것이다. 이에 대한 답의 일부는 D-브레인이라는 비섭동적 물체로부터 얻을 수 있다.
먼저 D 브레인이 무엇인지에 대한 언급을 하자. 초끈 이론에는 물론 초끈이라는 물체가 있다. 이 초끈의 무한한 양자 상태 하나 하나가 입자 종류 하나씩을 주고, 이 무한한 입자 종류가 서로 상호 작용을 하는 것이 섭동적 초끈 이론이다. 입자 A와 입자 B가 서로 상호 작용을 해서 입자 A'과 B'을 만든다는 식의 효과를 계산할 수 있는 이론인 것이다.
한편, 양자 역학에서 자주 다루지 않으나 매우 중요한 거의 고전적인 종류의 상태들이 있다. 예를 들어, 단진동 양자 역학에서도 나타나는데, 단진동자를 무한히 많이 진동시킴으로서, 거의 고전적인, 좌우로 움직이는 진자와 같은 상태를 쓸 수 있는 것을 많은 독자들이 기억하리라 생각한다. 좀더 일반적인 장론에서는 이와 비슷한 상태들로서 솔리톤이 있는데, 솔리톤이란, 에너지가 뭉쳐져 입자, 끈, 막 등의 형태로서 안정적으로 존재하는 물체를 말한다. 솔리톤 역시, 무한한 개수의 양자들이 모여 이루어지는 거의 고전적인 물체이다.
가장 간단한 예로, 1+1 차원에서 라그랑지안의 형태가
인 간단한 이론을 생각해 보자.
m은 기본 양자의 질량에 해당하고, e2는 작용 상수의 역할을 한다. 이 이론에는 위 라그랑지 안에서 나오는 운동 방정식의 해로서 다음과 같은
솔리톤이 존재하는데
여기서 x0은 솔리톤의 위치에 해당한다. 이의 에너지 즉 솔리톤의 질량은 위치에 상관없이 다음과 같이 주어진다. 
유의할 점은 솔리톤의 질량이 작용상수 e2에 역비례한다는 점이다. 솔리톤의 질량이 작용 상수에 역비례하는 성질은 매우 일반적인데, 이러한 성질 때문에, e4φ4를 섭동적으로 사용해서는 이러한 물체를 볼 수 없다.
D 브레인 역시 이런 종류의 솔리톤이라고 생각하면 된다. 초끈 이론은 무한한 종류의 입자로 구성되어 있으므로, 이 입자들에 해당하는 장을 만들어내는데, 이중 저 에너지에서 중요한 몇가지 만으로 근사적인 장론을 쓸 수 있고, 이 장론에서 시작하여 솔리톤들이 만들어질 수 있다. 이렇게 근사적으로 씌어지기도 하지만 또 한편으로는, 닫힌 초끈이 이 D 브레인에 닿으면, 두 개의 열린 초끈으로 나뉘어, 각각 D 브레인에 끝을 두고 움직일 수 있다는 성질에 의해 기술될 수도 있다.[6]
중요한 점은 이 솔리톤의 질량 혹은 단위 길이, 단위 면적, 단위 부피, 등의 질량이 역시 초끈의 작용 상수에 역비례하고, 따라서 초끈이론이 섭동적으로 시작했음에도 불구하고, 이론 내에 실존하는 비섭동적인 물체들로서 나타날 수 있다.
이제, S-duality 변환에서 D 브레인이 중요하게 들어오는 이유를 짐작하기는 쉬운 일이다. 초끈에서의 S-duality 변환의 경우 전하 e와 자기전하 g처럼 서로 교환되는 물체들은 무엇일까? 특히 IIB와 같이 자기 자신으로 돌아오는 경우 IIB 초끈 이론 내에 전하와 자기 전하에 해당하는 두가지 물체가 모두 존재해야 한다. IIB 이론 역시 초끈이라는 물체가 기본적으로 존재하는데, S-duality 변환을 통해 이를 IIB 이론 내에 존재하는 다른 종류의 끈으로 바꾸어야 할 것이다. IIB 이론 내의 D 브레인 중에는 1차원적인 끈모양의 솔리톤이 있는데, 이를 D끈이라 부르자. 초끈과 이러한 D끈이 S-duality에 의해 서로 교환된다고 생각해보자.
IIB 이론의 작용 상수를 gs라고 하면 이 이론에서의 초끈과 D끈의 질량 밀도는 각각 1 /2πα'과 1/(2πα'gs)이다. 즉 D끈의 질량 밀도는 초끈의 그것보다 1/gs배만큼 차이가 난다. 여기서 D끈과 초끈을 서로 바꾸는 변환, 즉 D끈을 양자화하여 두 번째 IIB 이론, IIB'을 만들고, 그 이론 안에서 원래의 초끈을 솔리톤인 D끈으로서 찾았다고 하자.
이 두 번째 이론에서의 초끈은 질량 밀도가 1/(2πα'gs)이고, 반대로 솔리톤끈으로 나타나는 새로운 D끈은 질량 밀도가1/(2πα')가 된다. 그런데, 솔리톤 끈의 질량 밀도는 초끈의 그것을 작용 상수로 나누어준 값으로 나와야 하므로, IIB' 이론의 작용 상수는 1/gs이어야 한다. 따라서, 이렇게 초끈과 D끈의 역할이 서로 뒤바뀌는 변환이 가능하다면 이 변환은 작용 상수를 gs→1/gs로 바꾸어야 한다. 이로부터, IIB 초끈 이론에는
에 해당하는 S-duality가 있으리라고 추측할 수 있다.
IIB
이론에는 1 차원적인 초끈과 D끈 이외에, 5차원적인 솔리톤으로서 D5브레인 및 역시 5차원의 솔리톤인 NS5 브레인, 그리고 3 차원적 솔리톤인 D3 브레인 등이 있다. 위의 변환은 이들에게도 적용되어, D5는 NS5와 교환되고, D3의 경우 특이하게도 자기 자신으로 돌아오는 경우이다. 이들의 질량 밀도는 각각, 1/[4π2gs(2πα')3],
1/[4π2g2s(2πα')3]와 1/[2πgs(2πα')2]로서, 위의 변환에 의해 앞의 둘은 교환되고, 마지막은 그대로 보존됨을 쉽게 볼 수 있다.
한편, 여기까지 자세히 따라온 독자들은 또다시 의문을 제기할 것인데, IIB 이론에서의 S-duality에 대한 여기까지의 설명은, 원래 의문의 한 핵심을 비켜가는 것이다. 다시 말하자면 즉 작용 상수가 작을 때 정의된 IIB 이론을 변환하여 작용 상수가 1/gs로 큰 값의 IIB 이론으로 바꾼다고 했는데, 문제는 후자의 성질을 확인할 방법이 없어 보인다는 것이다. 왜냐하면, 아직까지 작용상수가 큰 초끈 이론을 어떻게 기술하는지 알려진 바가 없기 때문이다. 이러한 문제를 해결해 주는 핵심은, 항상 그러하듯이, 다시 초끈 이론 안에서 찾아진다. 초끈 이론들은 초대칭이라는 새로운 종류의 대칭성을 갖고 있는데, 예를 들어 IIB 이론은 초대칭을 가장 많이 갖고 있는 경우 중 하나이다. 초대칭이 있는 경우, D 브레인과 초끈의 일부 성질들은 작용상수의 변화에 둔감하게 되는데, 특히 이들의 질량 밀도가 그러하다. 지금까지 알려지고 확인된 양면성은 대부분 초대칭성에 그 기반을 두고 있다.
위에서는 10 차원의 IIB이론의 예에 한정하였으나, 5 가지의 초끈이론들을 혹은 이들을 저차원으로 내려주는 수많은 가능성을 모두 함께 생각해볼 수 있는데, 이들 사이에 T-duality, S-duality를 비롯한 매우 다양한 변환이 가능하다. 이런 변환은 흔히 섭동적인 상태와 비섭동적인 상태를 뒤섞어 놓는데, 이 모든 변환에서 D 브레인의 존재와 그 성질이 역시 중요하게 작용한다.
마지막으로, M 이론과 초끈 사이의 관계를 직접 연결해주는 경우도 있는데, 11 차원의 M 이론과 10차원의 IIA 이론의 관계를 살펴보면, M 이론의 11차원 중 하나를 반지름 r의
원으로 만들면 나머지 10차원에서의 이론은, 작용 상수의 크기가 r3/2에 비례하고, 질량 밀도는 r에
비례하는 IIA 초끈 이론처럼 보인다는 양면성이 있다.[7]
정말로 11 차원이 존재하려면, M 이론의 구체적인 구조와 상관없이, 원상의 양자화된 운동량을 가지는 입자들이 있어야 하는데, 이들의 10차원적 질량은 1/r의
정수배이어야 한다. 즉 질량이 1/[gs√α']의 정수배인 입자들이 IIA 이론에 있어야만 하는데, IIA 이론의 경우 D브레인의 일종인 D0 입자가 이와 같은 질량을 가지고 있으므로, D0 여러개의 결합체들이 결합에너지 없이 존재하면 위의 M 이론과 IIA 이론 사이의 양면성과 부합한다. 실제로 그러한 결합체의 존재는 이미 증명되어 있고,[8]
이 일례는 실은 11 차원적 M 이론의 존재를 시사해 준 가장 첫 결과 중의 하나이다.
결 론
대표적인 초끈 학자인 위튼이 한동안 하고 다닌 말이 있다. 대략 말하자면, 초끈 이론 혹은 M 이론은 과학문명이 더욱 발전될 후세대에서 발견되었어야 적절한 것이었는데, 어쩌다가 20세기 물리학자들이 실수로 발견했다는 식의 이야기이다. 위에서 말했듯이, 초끈 이론은 현재 단 하나의 실험 결과와도 결부 될 수 없는 상태이므로, 그 동안 자연 과학의 발전 과정과는 조금 다른, 그 발견이 다분히 우연적인 면이 있다는 이야기일 것이다.
어찌 되었건, 위튼의 이 말 속에는 초끈을 연구하는 사람들의 행복과 고민이 모두 담겨있는 듯 하다. 초끈은 그동안 물리학자들이 고대하던 중력론과 양자론의 통합에 성공한 유일한 체계이며, 그동안 숙제로 남아 있던 중요한 이론적인 문제들, 예를 들면 블랙홀의 양자적 성질 (혹은 모순)에 대해 벌써 구체적인 답을 제시하기 시작했다.[9]
이런 의미에서 지난 20년 동안의 초끈 이론의 발전은, 믈리학의 도래 이후 처음으로 모든 미시 세계의 자연 현상을 설명할 수 있는 가능성을 보여 주었고, 이를 발견한 현세대의 이론물리학자들은 그만큼 행운아들이라고 할 수도 있다는 것이다. 그러나, 거꾸로 생각해 보면 초끈 이론과 실제 자연과의 만남은 그만큼 멀고 험한 미래를 가지고 있다. 이론이 너무 앞서가고 있는 상황에서 이의 실험적 검증이야말로 초끈 이론의 가장 큰 숙제인 것이다.
하지만 이렇게 실험보다 이론이 앞선 경우가 과거에 없었던 것은 아니다, 바로 서론에서 말하였듯, 맥스웰의 전자기론에서 시작하여, 특수 상대론이 발견되고, 이에 "만유 인력" 즉 중력을 포함하기 위해 일반 상대론이 씌어진 과정 역시, 실험 혹은 관측과의 연결이 비교적 미미하였다. 예를 들면, 특수 상대론의 발견에 중요한 역할을 한 것으로 흔히 생각하는 마이켈슨과 몰리의 실험조차, 실제 아인슈타인에게 얼마나 영향을 주었는지는 불분명하다. 특히 일반 상대론의 경우, 수성의 근일점 문제 이외에는 뉴턴 이론의 다른 관측적인 문제가 없었고, 이런 관측 혹은 실험상의 문제보다는 특수 상대론의 범주 내에서 어떻게 중력을 다룰 수 있는지의 체계의 문제가 더욱 절실했을 것이다.
이런 의미에서 양면성의 이해와 따라서 D 브레인의 이해가 더욱 중요하게 다가온다. 초끈의 양면성을 어떻게 보면 이론의 구조에 대한 이론으로, 즉 일종의 옥상옥으로 생각할 수도 있으나, 또 한편으로는 초끈 학자들에게 현재 주어진 유일한 도구이기도 하다. 맥스웰 방정식의 이론적 구조가 상대론의 씨앗이 되었듯이, 초끈 이론과 그의 양면성에서 출발하여 미시 세계의 근본 체계, 즉 M 이론을 발견하고자 하는 것이 초끈 학자들의 공통된 바램일 것이다.
참 고 문 헌
[1] M. Green, J. H. Schwarz, E.
Witten, Superstring Theory (Cambridge
University Press).
[2] 초끈
이론과 M 이론의 관계에 대하여는 이수종 교수의 기고를 참조하기 바란다.
[3] C. Montonen, D.I. Olive,
Phys. Lett. B7, 117
(1977).
[4] Joseph Polchinski, Edward
Witten, Nucl. Phys. B460, 525
(1996).
[5] John H. Schwarz, Phys.
Lett. B360, 13 (1995); Erratum-ibid.
B364, 252
(1995).
[6] Joseph Polchinski, Phys.
Rev. Lett. 75, 4724
(1995).
[7] Edward Witten, "Some
Comments On String Dynamics," hep-th/9507121.
[8] Piljin Yi, Nucl. Phys. B505,
307 (1997); Savdeep Sethi, Mark Stern, Commun. Math.
Phys. 194, 675
(1998).
[9] 이에
관한 자세한 설명은 신현준 박사와 현승준 교수의 기고를 참조하기 바란다.
이필진 교수는
California Institute of Technology 박사(1994)로서 Columbia 대학교 연구원(1994-97), Cornell 대학교 연구원(1997-98)을 거쳐 현재 고등과학원 물리학부 교수로 재직 중이다.
(piljin@kias.re.kr)
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