1. Tradition
1.1 힐버트의 형식주의
1.1.1 기하학의 기초를 형식화 하는데 성공한 후에 수학 전체에 대한 정리들 (theorems) 과 공리들 (axioms) 의 형식화를 시도
1.1.2 그 형식체계 자체의 무모순성과 완전성을 증명함으로써 수학의 기초를 확립하고자 함
1.1.3 나아가 수학과 물리학을 비롯한 과학의 전 분야에 대한 확고한 공리적 기초를 마련하려고 노력
1.1.4 힐버트의 '수학적 문제의 해결가능성을 위한 공리'는 괴델에 의해 반박됨
1.1.5 수학의 환원주의에 대한 신념의 균열, 새로운 노선으로 방향전환
1.2 화이트헤드의 논리주의
1.2.1 Principia Mathematica : 수학이 논리학의 일부에 불과하다는 입장
1.2.2 논리학이나 산술을 포함한 수학을 기술하는 포괄적인 기호체계를 발전시킴
1.2.3 수학 증명에 쓰이는 형식적 추론규칙의 대부분을 명확한 형태로 제시
1.2.4 의미: 집합론의 역설에도 불구하고 수학은 완전하며 모든 수학적 정리는 체계 내에서 증명 가능하다는 주장을 전개
1.2.5 괴델의 불완전성 정리의 논리적 출발이면서, 동시에 괴델의 정리로 인해 논리주의의 신념을 좌절시킴
1.3 러셀의 논리주의
1.3.1 논리의 개념이나 연산을 기본으로 전체 수학을 그것으로부터 도출시킴
1.3.2 수학적 대상을 실재로 간주하는 논리주의를 구상
1.3.3 집합론의 패러독스, 계형이론, 환원의 공리, 기술이론
2. Methode
2.1 공리론적인 방법
2.1.1 공리로 알려진 명제 몇 개를 가정하고, 이 공리로부터 논리적인 추론에 의해 정리들을 유도하는 것
2.2 수학기초론
2.2.1 괴델의 정리를 기초로 1950년대 형성된, 수학적 진리의 기초인 근거를 규명하려는 학문
2.2.2 논리적으로 참(옳음)이란 무엇인가?
2.2.3 어떠한 근거에서 '무한'의 개념을 인식할 수 있는가?
2.2.4 논리의 법칙은 현재까지 알려진 것이 다라고 할 수 있는가?
2.2.5 '집합'을 무엇이라 정의하는가?
2.2.6 집합론의 공리는 현재 쓰고 있는 것 외에 더 필요하지 않는가?
2.2.7 수학에는 모순이 없는가?
2.2.8 수학이란 도대체 무엇인가?
3. Theorem
3.1 연속체 가설의 무모순성
3.1.1 집합론의 어떤 유명한 공준 집합이 그 자체로 무모순이면, 연속체 가설도 무모순이다.
3.1.2 괴델은 연속체 가설의 부정도 또한 집합론의 그 공준 집합과 무모순이라고 추측함 - 1963년 스탠포드의 코헨(Paul J. Cohen)에 의해 증명
3.2 완전성정리
3.2.1 논리적으로 올바른 명제는 모두 논리적 체계 내에서 증명할 수 있다
3.3 불완전성정리
3.3.1 괴델 수화라는 혁신적인 방법으로 형식화된 체계를 자연수론 안에서 표현하여 결정 불가능한 명제의 존재를 증명
3.3.2 1. 한 공리계가 산술을 포함하고 무모순하면, 참이면서도 증명할수 없는 명제가 존재한다
3.3.3 2. 공리계가 무모순하다는 것을 그 공리계 안에서는 증명할 수 없다.
3.3.4 결론: 명제 -A는 결정불가능하다. 따라서 명제 A와 그것의 부정 -A 모두가 이 체계에서 증명 불가능하다. 즉, 참이지만 증명이 불가능한 명제 A가 존재한다.
4. Artificial Intelligence
4.1 튜링 기계(Turing machine)
4.2 처치 설정(Church thesis)
4.3 인간만이 할 수 있는 일 vs 기계가 할 수 있는 일
4.4 괴델의 불완전성과 결정불가능성은 고정된 형식연역체계에 한정된 어떠한 정보처리체계도 한계를 지니고 있음을 증명함
4.5 복잡성의 개념을 통해 나타낼 경우 복잡성이 너무 커서 어떤 컴퓨터 프로그램도 산출할 수 없는 수들이 존재한다.
4.6 연역 논리학의 충분히 강한 형식체계 내에는 너무 복잡한 탓에 그 체계의 논리적 조작들을 사용해서는 증명할 수 없는 진술들이 있다.
5. Würdigung
5.1 수학적 명제는 그것이 증명될 때에만 참이 되며, '정리'는 증명 가능한 명제를 말한다.
5.2 수학에서 진리와 정리는 논리적으로 같은 뜻으로 이해되어 왔으나 괴델의 제2불완전성 정리에 의해 참이지만 정리가 안되는 명제가 제시되었다.
5.3 괴델의 발견으로, 수학의 보다 본질적인 문제는 진리가 아니라 증명가능성의 개념이라는 이해가 전적으로 지배하게 된다.
5.4 순수한 수들간에 참인 관계들이 존재할지라도 연역논리의 방법들은 너무 취약해 그러한 모든 사실들을 증명 할 수 없다
5.5 결국 진리의 세계가 증명의 세계보다 크다는 것이며, 형식적 증명을 통해 진리의 세계에 도달할 수 없다.
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Kurt Gödel
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